Determinar quais subgrupos um grupo possui é uma forma de compreender sua estrutura. Por exemplo, subgrupos Z6 {0}, {0, 2, 4} e {0, 3} são subgrupos triviais, múltiplos de 2 e múltiplos de 3. No grupo D6as rotações formam um subconjunto, mas não refletem. Isso ocorre porque duas reflexões consecutivas produzem uma rotação, não uma reflexão, assim como a adição de dois números ímpares resulta em um número par.
Certos tipos de subgrupos, chamados subgrupos “normais”, são particularmente úteis para matemáticos. Num grupo comutativo, todos os subgrupos são normais, mas isto nem sempre é verdade. Esses subgrupos retêm algumas das propriedades comutativas mais úteis sem forçar todo o grupo a ser comutativo. Se uma lista de subgrupos regulares puder ser definida, os grupos poderão ser divididos em componentes, assim como os inteiros são divididos em produtos primos. Grupos que não possuem subgrupos regulares são chamados de grupos simples e não podem ser divididos, assim como os números primos não podem ser fatorados. Grupo Zn É simples, só quando n é elementar – múltiplos de 2 e 3, por exemplo, formam subgrupos regulares Z6.
No entanto, grupos simples nem sempre são tão simples. “Esta é a maior falácia da matemática”, disse Hart. Em 1892, o matemático Otto Holder sugeriu que os pesquisadores reunissem uma lista completa de todos os grupos finais simples possíveis. (Grupos infinitos, como números, formam seu próprio campo de estudo.)
Acontece que quase todos os grupos são finitos ou semelhantes Zn (para valores básicos n) ou pertencem a uma das outras duas famílias. E há 26 exceções chamadas grupos esporádicos. Demorou mais de um século para conectá-los e mostrar que não há outras opções.
O maior grupo esporádico, apropriadamente chamado de grupo monstro, foi descoberto em 1973. mais de 8 × 1054 são elementos e representam rotações geométricas no espaço com cerca de 200.000 dimensões. “É uma loucura que as pessoas possam encontrar essas coisas”, disse Hart.
Na década de 1980, grande parte do trabalho solicitado por Holder já havia sido realizado, mas era difícil demonstrar que não havia outros grupos dissidentes. Quando, em 1989, o público descobriu falhas num documento de 800 páginas do início da década de 1980, a classificação foi ainda mais adiada. Um fato novo finalmente foi publicado Em 2004, completou a classificação.
Muitas estruturas na matemática moderna – anéis, campos e espaços vetoriais, por exemplo – são criadas quando mais estrutura é adicionada aos grupos. Nos loops você pode multiplicar, somar e subtrair; nos campos, você também pode compartilhar. Mas por baixo de todas estas estruturas mais complexas está a mesma ideia básica de grupo com os seus quatro axiomas. “A riqueza que é possível dentro desta estrutura com estas quatro regras é surpreendente”, disse Hart.
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